高三開學(xué)模擬考結(jié)束之后很多同學(xué)最想看的不是總分而是那幾道讓自己卡了十幾分鐘的題。尤其是選擇題第8題、多選題第11題和填空題第14題這類“壓軸小題”往往決定了一套卷子能不能突破120分。它們不像最后的圓錐曲線大題那樣需要長篇書寫卻能在幾十秒內(nèi)檢驗(yàn)出你對(duì)數(shù)字組合、新定義、圓系方程、數(shù)列遞推這些模塊的敏感度。本文就以廣東廣州高三開學(xué)模擬卷中 T8、T11、T14 所覆蓋的高頻考點(diǎn)為主線把數(shù)字組合與新定義、排列組合與二項(xiàng)式定理、圓錐曲線中的圓系方程、以及數(shù)列遞推與數(shù)學(xué)歸納這幾個(gè)方向集中拆一遍。我會(huì)用同類典型題代替原題來做方法演示因?yàn)椴煌瑢W(xué)校的模擬卷版本差異較大關(guān)鍵是把題目背后的解法模型抽出來掌握了模型題目怎么變都不會(huì)慌。1. T8、T11、T14背后是一套“方法樹”1.1 這三道題在卷面中承擔(dān)什么功能從卷面結(jié)構(gòu)來看T8 通常位于單選題后段目的是拉出區(qū)分度T11 如果是多選題則經(jīng)常帶有“新定義”或“多個(gè)選項(xiàng)逐一判斷”的特征要求學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)完成多角度驗(yàn)證T14 作為填空題壓軸往往只有兩問的空間卻可能同時(shí)涉及數(shù)列遞推、構(gòu)造新數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法。很多學(xué)生習(xí)慣把精力放在最后兩道大題上反而忽視了這些小而精的題目。實(shí)際上T8、T11、T14 的計(jì)算量未必小但它們最考查“方法選擇是否高效”。同樣的知識(shí)點(diǎn)用笨辦法也能做但考試時(shí)間不允許。1.2 為什么開學(xué)模擬卷愛用這些考點(diǎn)高三開學(xué)模擬卷的核心目的是“診斷”因此命題人會(huì)故意把學(xué)生容易混淆的概念放在同一份卷子里。數(shù)字組合題考查的是分類是否完備新定義題考查的是能否把陌生語言翻譯成熟悉的數(shù)學(xué)模型二項(xiàng)式定理考查的是展開式系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系圓系方程考查的是解析幾何里“設(shè)而不求”的意識(shí)數(shù)列遞推和累乘法則是檢驗(yàn)代數(shù)變形是否扎實(shí)。把這些考點(diǎn)壓縮在選擇題和填空題中比放在大題中更能暴露出思維漏洞。也就是說做錯(cuò)一道小題往往不是“粗心”而是底層解題模型沒有建立好。1.3 本文的閱讀方法建議不要先看答案而是先看每一類方法的使用前提再對(duì)照完整例題動(dòng)手算。第2節(jié)到第5節(jié)分別解決四個(gè)模塊數(shù)字組合與新定義、排列組合與二項(xiàng)式定理、圓系方程、數(shù)列遞推綜合。第6節(jié)配了一份仿照 T8/T11/T14 風(fēng)格命制的限時(shí)小練適合用來檢驗(yàn)前面學(xué)到的方法。第7節(jié)和第8節(jié)則集中回答兩個(gè)問題丟分原因是什么后續(xù)復(fù)習(xí)該怎么補(bǔ)。2. 數(shù)字組合與新定義先翻譯成計(jì)數(shù)模型2.1 新定義題的本質(zhì)是“翻譯”所謂“新定義”并不是真的發(fā)明一套陌生數(shù)學(xué)體系而是用一個(gè)新的名詞包裝一個(gè)你已經(jīng)見過的計(jì)數(shù)規(guī)則。比如題目規(guī)定一個(gè)數(shù)叫“好數(shù)”“漂亮數(shù)”或“平衡數(shù)”再給出判斷條件。做題時(shí)第一步不是立刻列舉而是把定義翻譯成集合、排列、組合、不等式或遞推關(guān)系。翻譯完成后這道題就和平時(shí)練的計(jì)數(shù)問題沒有本質(zhì)區(qū)別。很多同學(xué)在新定義題上失分是因?yàn)樽x題時(shí)只記住了“新定義”三個(gè)字沒有把定義里的限制條件轉(zhuǎn)化為可量化的規(guī)則。例如“各位數(shù)字互不相同”“不能含有數(shù)字0”“相鄰兩位之差不能超過2”這些都屬于典型的約束條件。正確的方法是先圈出所有限制詞把定義寫成一、二、三條再開始分類計(jì)數(shù)。2.2 典型例題能被3整除的四位數(shù)來看一道與“數(shù)字組合”高度相關(guān)的題目由數(shù)字 0、1、2、3、4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)其中能被 3 整除的有多少個(gè)。能被 3 整除等價(jià)于各位數(shù)字之和能被 3 整除。五個(gè)數(shù)字總和為 (0123410)組成四位數(shù)相當(dāng)于從五個(gè)數(shù)字中去掉一個(gè)數(shù)字。10 除以 3 余 1所以去掉的那個(gè)數(shù)字也必須除以 3 余 1才能讓剩余四個(gè)數(shù)字之和被 3 整除。可去掉的數(shù)字只有 1 或 4。如果去掉 1剩余數(shù)字是 0、2、3、4。這四個(gè)數(shù)字排成四位數(shù)先不考慮首位限制共有 (4! 24) 種其中首位為 0 的有 (3! 6) 種所以合法數(shù)是 (24-618) 個(gè)。如果去掉 4剩余數(shù)字是 0、1、2、3結(jié)果同樣是 18 個(gè)。因此總數(shù)是 (181836) 個(gè)。這道題的關(guān)鍵在于“先選后排”。先確定去掉哪個(gè)數(shù)字再討論排列順序。如果不做數(shù)字選擇直接從千位開始枚舉很容易因?yàn)?0 的位置而重復(fù)或遺漏。2.3 數(shù)字組合題防止重復(fù)/遺漏的三條鐵律第一先圈定“元素集合”再討論“位置排列”。元素集合指可供挑選的數(shù)字或?qū)ο笪恢门帕袆t關(guān)注順序。第二遇到“首位不能為0”這類條件優(yōu)先使用“總數(shù)減去不合法數(shù)”的補(bǔ)集思想比直接分類更穩(wěn)。第三算出結(jié)果后用最小規(guī)模驗(yàn)證例如把四位改成兩位看分類邏輯是否成立。這能快速發(fā)現(xiàn)是否漏掉特殊元素。3. 排列組合與二項(xiàng)式定理用對(duì)應(yīng)關(guān)系破題3.1 排列、組合、二項(xiàng)式定理的定位排列組合的核心是“怎么數(shù)”二項(xiàng)式定理的核心是“怎么展開更高效”。很多同學(xué)把這兩塊割裂開其實(shí)它們共用同一個(gè)底層思想對(duì)應(yīng)關(guān)系。排列考慮順序組合不考慮順序。做題時(shí)先問自己選出兩個(gè)對(duì)象后交換位置是否會(huì)產(chǎn)生新的合法結(jié)果如果會(huì)用排列如果不會(huì)用組合。二項(xiàng)式定理則是把 ((ab)^n) 展開成 (\sum_{k0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k)它的每一項(xiàng)都可以看成從 (n) 個(gè)括號(hào)中選 (k) 個(gè)取 (b)其余取 (a)。這樣以來展開式系數(shù)就是組合數(shù)展開式問題本質(zhì)上就是組合問題。3.2 二項(xiàng)式定理的通用處理方法在小題里二項(xiàng)式定理通常不會(huì)只考代入公式而是會(huì)和多項(xiàng)式乘法、整除性、系數(shù)比較結(jié)合。遇到 ((ab)^n)第一步寫出通項(xiàng) (T_{k1}C_n^k a^{n-k}b^k)遇到多個(gè)因式相乘例如 ((1xx^2)(1-x)^5)則要分別討論每一個(gè)因子貢獻(xiàn)了什么次冪再用“對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相加”的方式完成。關(guān)鍵點(diǎn)在于多項(xiàng)式中 (x^m) 的系數(shù)是所有可能的“低次項(xiàng)乘積”貢獻(xiàn)之和。與其試圖展開整個(gè)多項(xiàng)式不如盯著目標(biāo)次數(shù)列出所有能湊出 (x^m) 的組合。3.3 完整示例求展開式中 x 的三次方系數(shù)求 ((1xx^2)(1-x)^5) 展開式中 (x^3) 的系數(shù)。先展開 ((1-x)^5)。由二項(xiàng)式定理[ (1-x)^5\sum_{k0}^{5}C_5^k(-1)^k x^k ]單獨(dú)看這一部分(x^0) 到 (x^5) 的系數(shù)分別是[ 1,\ -5,\ 10,\ -10,\ 5,\ -1 ]前面的因子是 (1xx^2)要得到最終 (x^3)有三種來源前因子貢獻(xiàn)需要 (1-x)^5 給出的項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)1x^3(C_5^3(-1)^3-10)xx^2(C_5^2(-1)^210)x^2x^1(C_5^1(-1)^1-5)所以 (x^3) 的系數(shù)為[ -1010-5-5 ]這道題如果直接展開 ((1-x)^5) 再乘也不是不行但更容易漏項(xiàng)。用“貢獻(xiàn)表”方式可以清晰地看到每一個(gè)低次項(xiàng)都考慮了適合在選擇題中快速出結(jié)果。從這道題也能看出二項(xiàng)式定理和數(shù)字組合的計(jì)數(shù)思維完全一致分類討論每一種貢獻(xiàn)最后匯總。4. 圓錐曲線與圓系方程讓“求過兩圓交點(diǎn)”不再硬